चरघातांकी श्रेणी (Exponential Series)

चरघातांकी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक ही चरघातांकी गुणांक से गुणा होता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$a_0 + a_1r + a_2r^2 + a_3r^3 + …$$

जहाँ, a_0 श्रेणी का प्रथम पद है, r चरघातांकी गुणांक है और n श्रेणी का nवाँ पद है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक चरघातांकी श्रेणी है:

1 + 2 + 4 + 8 + ...

यहाँ, a_0 = 1, r = 2, और n 1, 2, 3, …

चरघातांकी श्रेणी के कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:

  • ब्याज की गणना: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
  • जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग जनसंख्या वृद्धि की दर की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
  • रेडियोधर्मी क्षय: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग रेडियोधर्मी क्षय की दर की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

चरघातांकी श्रेणी के कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:

  • यदि r ऋणात्मक है, तो श्रेणी का योग सीमित है।
  • यदि r शून्य से कम है, तो श्रेणी का योग 0 से कम है।
  • यदि r शून्य से अधिक है, तो श्रेणी का योग अनंत है।
  • यदि r शून्य से अधिक है, तो श्रेणी का योग a_0/(1-r) के बराबर है।
  • ex = 1 + x/1! + x2 /2! + x3/3! + …..
  • e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ….
  • e = 2.7182
  • e-x = 1 – x/1! + x2 /2! – x3/3! + …..
  • ex + e-x = 2 [ 1 + x2/2! + x4/4 + …..]
$$ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dotsb \ $$ $$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb \ $$ $$e \approx 2.7182 \ $$ $$e^{-x} = 1 – \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} – \frac{x^3}{3!} + \dotsb \ $$ $$ e^x + e^{-x} = 2 [ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb ] $$