चरघातांकी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक ही चरघातांकी गुणांक से गुणा होता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$$a_0 + a_1r + a_2r^2 + a_3r^3 + …$$
जहाँ, a_0 श्रेणी का प्रथम पद है, r चरघातांकी गुणांक है और n श्रेणी का nवाँ पद है।
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक चरघातांकी श्रेणी है:
1 + 2 + 4 + 8 + …
यहाँ, a_0 = 1, r = 2, और n 1, 2, 3, …
चरघातांकी श्रेणी के कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:
- ब्याज की गणना: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
- जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग जनसंख्या वृद्धि की दर की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
- रेडियोधर्मी क्षय: चरघातांकी श्रेणी का उपयोग रेडियोधर्मी क्षय की दर की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
चरघातांकी श्रेणी के कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:
- यदि r ऋणात्मक है, तो श्रेणी का योग सीमित है।
- यदि r शून्य से कम है, तो श्रेणी का योग 0 से कम है।
- यदि r शून्य से अधिक है, तो श्रेणी का योग अनंत है।
- यदि r शून्य से अधिक है, तो श्रेणी का योग a_0/(1-r) के बराबर है।
$$
e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dotsb \ $$
$$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb \ $$
$$e \approx 2.7182 \ $$
$$e^{-x} = 1 – \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} – \frac{x^3}{3!} + \dotsb \ $$
$$ e^x + e^{-x} = 2 [ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb ]
$$