त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है। त्रिकोणमिति का उपयोग ज्यामिति, भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान, और अन्य कई क्षेत्रों में किया जाता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत शब्दावली में निम्नलिखित शामिल हैं:

  • त्रिभुज: एक त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।
  • कोण: एक कोण एक वस्तु की दिशा में परिवर्तन है। कोणों को डिग्री में मापा जाता है।
  • भुजा: एक भुजा एक त्रिभुज का एक किनारा होता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत अनुपातों में निम्नलिखित शामिल हैं:

  • sin : sin एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।
  • cos: cos एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।
  • tan: tan एक कोण की भुजाओं के अनुपात को दर्शाता है।

त्रिकोणमिति के मूलभूत सूत्रों में निम्नलिखित शामिल हैं:

  • पाइथागोरस प्रमेय: पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग आधार और लम्ब की लम्बाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
  • सिन नियम: सिन नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के सिन उसके विपरीत भुजा की लम्बाई और कर्ण की लम्बाई के अनुपात के बराबर होता है।
  • कोस नियम: कोस नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के कोस उसके निकटवर्ती भुजाओं की लम्बाइयों के वर्गों के योग और कर्ण की लम्बाई के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।
  • टैन नियम: टैन नियम बताता है कि किसी त्रिभुज के किसी कोण के टैन उसके विपरीत भुजा की लम्बाई और उसके निकटवर्ती भुजा की लम्बाई के अनुपात के बराबर होता है।

त्रिकोणमिति के उपयोग में निम्नलिखित शामिल हैं:

  • **त्रिभुजों का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करना।
  • **ऊँचाई और दूरी ज्ञात करना।
  • **त्रिभुज के कोणों का माप ज्ञात करना।
  • **त्रिभुजों के समरूपता का निर्धारण करना।
  • **त्रिभुजों के समरूपता का उपयोग करके समस्याओं को हल करना।

त्रिकोणमिति का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

  • ज्यामिति: त्रिकोणमिति का उपयोग ज्यामिति में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
  • भौतिकी: त्रिकोणमिति का उपयोग भौतिकी में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि प्रक्षेप्य गति, सरल हार्मोनिक गति, और तरंग गति।
  • इंजीनियरिंग: त्रिकोणमिति का उपयोग इंजीनियरिंग में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि पुल निर्माण, इमारत निर्माण, और वायुयान डिजाइन।
  • खगोल विज्ञान: त्रिकोणमिति का उपयोग खगोल विज्ञान में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि ग्रहों और तारों की दूरी और आकार ज्ञात करना।

त्रिकोणमितीय फलन

किसी समकोण त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं के अनुपात को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते है।

  • लम्ब/कर्ण = sin θ
  • आधार/कर्ण = cos θ
  • लम्ब/आधार = tan θ
  • आधार/लम्ब = cot θ
  • कर्ण/आधार = sec θ
  • कर्ण/लम्ब = cosec θ

त्रिकोणमितीय अनुपातों में परस्पर संबंध (Relation between Trigonometric Ratios)

  • sin θ cosec θ = 1
  • cos θ sec θ = 1
  • tan θ cot θ = 1
  • tan θ = sin θ/cos θ
  • cot θ = cos θ/sin θ
  • sin2 θ + cos2 θ = 1
  • 1 + tan2 θ = sec2 θ
  • 1 + cot2 θ = cosec2

B. Trigonometric ratios of allied angles

1. Trigonometric ratios of (-θ) in terms of (θ)

  • sin(-θ) = -sinθ
  • cos(-θ) = cosθ
  • tan(-θ) = -tanθ
  • cot(-θ) = -cotθ
  • sec(-θ) = secθ
  • cosec(-θ) = -cosecθ

n2. Trigonometric ratios of (900-θ) in terms of (θ)n

  • sin(900-θ) = cosθ
  • n
  • cos(900-θ) = sinθ
  • n
  • tan(900-θ) = cotθ
  • n
  • cot(900-θ) = tanθ
  • n
  • sec(900-θ) = cosecθ
  • n
  • (900-θ) = secθ
  • n

n3. Trigonometric ratios of (900+θ) in terms of (θ)n

  • sin(900+θ) = cosθ
  • n
  • cos(900+θ) = -sinθ
  • n
  • tan(900+θ) = -cotθ
  • n
  • cot(900+θ) = -tanθ
  • n
  • sec(900+θ) = -cosecθ
  • n
  • (900+θ) = secθ
  • n

n4. Trigonometric ratios of (1800-θ) in terms of (θ)n

  • sin(1800-θ) = sinθ
  • n
  • cos(1890-θ) = -cos
  • n
  • tan(1800-θ) = -tanθ
  • n
  • cot(1800-θ) = -cotθ
  • n
  • sec(1800-θ) = -secθ
  • ncosec(1800-θ) = cosecθ
  • n

n5. Trigonometric ratios of (1800+θ) in terms of (θ)n

  • sin(1800+θ) = -sinθ
  • n
  • cos(1800+θ) = -cosθ
  • n
  • tan(1800+θ) = tanθ
  • n
  • cot(1800+θ) = cotθ
  • n
  • sec(1800+θ) = -secθ
  • n
  • (1800+θ) = -cosecθ
  • n

n6. Trigonometric ratios of (900+θ) in terms of (θ)n

  • sin(2700-θ) = -cosθ
  • n
  • cos(2700-θ) = -sinθ
  • n
  • tan(2700-θ) = cotθ
  • n
  • cot(2700-θ) = tanθ
  • n
  • sec(2700-θ) = -cosecθ
  • n
  • (2700θ) = -secθ
  • n

n7. Trigonometric ratios of (900+θ) in terms of (θ)n

  • sin(2700+θ) = -cosθ
  • n
  • cos(2700+θ) = sinθ
  • n
  • tan(2700+θ) = -cotθ
  • n
  • cot(2700+θ) = -tanθ
  • n
  • sec(2700+θ) = cosecθ
  • n
  • (2700+θ) = -secθ
  • n

n8. Trigonometric ratios of (3600-θ) in terms of (θ)n

  • sin(3600-θ) = -sinθ
  • n
  • cos(3600-θ) = cosθ
  • n
  • tan(3600-θ) = -tanθ
  • n
  • cot(3600-θ) = -cotθ
  • n
  • sec(3600-θ) = secθ
  • n
  • (3600-θ) = -cosecθ
  • n

n9. Trigonometric ratios of (3600-θ) in terms of (θ)n

  • sin(3600+θ) = sinθ
  • n
  • cos(3600+θ) = cosθ
  • n
  • tan(3600+θ) = tanθ
  • n
  • cot(3600+θ) = cotθ
  • n
  • sec(3600+θ) = secθ
  • n
  • (3600+θ) = cosecθ
  • n

n10. Trigonometric ratios of (n×3600±θ) in terms of (θ)n

  • sin(n×3600±θ) = ±sinθ
  • n
  • cos(n×3600±θ) = cosθ
  • n
  • tan(n×3600±θ) = ±tanθ
  • n
  • cot(n×3600±θ) = ±cotθ
  • n
  • sec(n×3600±θ) = secθ
  • n
  • (n×3600±θ) = ±cosecθ
  • n

n

C. Trigonometric ratios of compound angels

n1. Trigonometric ratios of sum and difference of two anglesn

  • sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
  • n
  • cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
  • n
  • sin(A-B) = sinA cosB – cosA sinB
  • n
  • cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB
  • n

n2. Transformation of product into sums of differencesn

  • 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A-B)
  • n
  • 2 cosA sinB = sin(A+B) – sin(A-B)
  • n
  • 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A-B)
  • n
  • 2 sinA sinB = cos(A+B) – cos(A-B)
  • n

n3. Transformation of sum or difference into productnSuppose A+B=C and A-B=Dnor $$ A = frac{C+D}{2}$$ and $$B = frac{C-D}{2}$$n

  • $$sinC+sinD = 2 sin frac{C+D}{2} cosfrac{C-D}{2}$$
  • n
  • $$sinC-sinD = 2 cos frac{C+D}{2} sinfrac{C-D}{2}$$
  • n
  • $$cosC+cosD = 2 cos frac{C+D}{2} cosfrac{C-D}{2}$$
  • n
  • $$cosC-cosD = 2 sinfrac{C+D}{2} sinfrac{D-C}{2}$$
  • n

nn4. Trigonometric ratios of sum of more than two anglesnn

  • sin(A+B+C) = sinA cosB cos C + cosA sinB cosC + cosA cosB sinC – sinA sinB sinC
  • n
  • cos(A+B+C) = cosA cosB cosC – sinA sinB cosC – sinA cosB sinC – cosA sinB sinC
  • n

n

D. Trigonometric ratios of multiple and sub-multiple angles

nMultiple angles: 2A, 3A, 4A ……nSub-multiple angles : $$ frac{A}{2}, frac{A}{3}, frac{A}{4}$$…….n1. Trigonometric ratios of an angle 2A in terms of angle An

  • sin2A = 2sinA cosA
  • n
  • cos2A = 1-2sin2A
  • n
  • $$ tan2A = frac{2tanA}{1-tan^2A}$$
  • n

n2. Trigonometric ratios of sin2A and cos2A in terms of tanAn

  • $$ sin2A = frac{2tanA}{1+tan^2A}$$
  • n
  • $$ cos2A = frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$$
  • n

n3. Trigonometric ratios of an angle 3A in terms of angle An

  • sin3A = 3 sinA – 4sin3A
  • n
  • cos3A = 4 cos3A – 3 cosA
  • n
  • $$ tan3A = frac{3 tanA – tan^3A}{1-3 tan^2A}$$
  • n

n4. Trigonometric ratios of an angle 180n

  • $$sin18^0 = frac{-1+sqrt{5}}{4}$$
  • n
  • $$cos18^0 = frac{sqrt{10+2sqrt{5}}}{4}$$
  • n

n5. Trigonometric ratios of an angle 360n

  • $$ cos36^0 = frac{1+sqrt{5}}{4}$$
  • n
  • $$ sin36^0 = frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4}$$
  • n

n6. Trigonometric ratios of an angle A in terms of angle A/2.n

  • $$ sinA = 2 sinfrac{A}{2}cosfrac{A}{2}$$
  • n
  • $$ cosA = 1- 2 sin^2\frac{A}{2}$$
  • n
  • $$ tanA = frac{2tanfrac{A}{2}}{1-tan^2frac{A}{2}}$$
  • n
  • $$ sinA = frac{2tanfrac{A}{2}}{1+tan^2frac{A}{2}}$$
  • n
  • $$ cosA = frac{1-tan^2frac{A}{2}}{1+tan^2frac{A}{2}}$$
  • n

n7. Trigonometric ratios of an angle (frac{A}{2}) in terms of cosAn

  • $$sinfrac{A}{2} = pm sqrt{frac{1-cosA}{2}}$$
  • n
  • $$cosfrac{A}{2} = pm sqrt{frac{1+cosA}{2}}$$
  • n
  • $$tanfrac{A}{2} = pm sqrt{frac{1-cosA}{1+cosA}}$$
  • n

n8. Trigonometric ratios of an angle (frac{A}{2}) in terms of sinAn

  • $$sinfrac{A}{2} + cosfrac{A}{2} = pm sqrt{1+sinA}$$
  • n
  • $$sinfrac{A}{2} – cosfrac{A}{2} = pm sqrt{1-sinA}$$
  • n

n

nnnn

त्रिकोणमितीय सूत्र (Trigonometric Formulas)

nnnn

  • sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
  • nnnn
  • sin(A-B) = sin A cos B – cos A sin B
  • nnnn
  • cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • nnnn
  • cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B
  • nnnn
  •  
  • nnnn
  • sin 2A = 2 sin A cos B
  • nnnn
  • cos 2A = cos2 A – sin2 A
  • nnnn
  • cos 2A = 1 – 2 sin2 A
  • nnnn
  • sin(A+B) + sin(A-B) = 2 sin A cos B
  • nnnn
  • sin(A+B) – sin(A-B) = 2 cos A sin B
  • nnnn
  • cos(A+B) + cos(A-B) = 2 cos A cos B
  • nnnn
  • cos(A+B) – cos(A-B) = -2 sin A sin B
  • n

nnnn

5. त्रिकोणमितीय फलनों के श्रेणी विस्तार (Series Expnsion of Trigonometric functions)

nnnn

  • sin θ = θ – θ3/3! + θ5/5! – θ7/7! …..
  • nnnn
  • cos θ = 1 – θ2/2! + θ4/4! – θ6/6! …..
  • nnnn
  • tan θ = θ + θ3/3 + 2θ5/15 …..
  • n

nnnn

6. सन्निकट मान ( Approximate Value )

nnnn

त्रिकोणमितीय फलनों में यदि θ अत्यल्प हो तो

nnnn

  • sin θ ≈ θ
  • nnnn
  • cos θ ≈ 1
  • nnnn
  • tan θ ≈ θ
  • n

nnnn

7. औसत मान (Average Value)

nnnn

  • = = 0
  • nnnn
  • = = 0
  • nnnn
  • < sin2 θ > = < sin2 nθ > = 1/2
  • nnnn
  • < cos2 θ > = < cos2 nθ > = 1/2
  • n

nnnn

मानक कोणों के लिये त्रिकोणमितीय फलनों के मान नीचे सारणी में किए गए हैं-

nnnn

Angle sin θ cos θ tan θ cot θ sec θ cosec θ
00 0 1 0 $$infty $$ 1 $$infty $$
300 $$frac{1}{2}$$ $$frac{sqrt{3}}{2}$$ $$frac{1}{sqrt{3}}$$ $$sqrt{3}$$ $$frac{2}{sqrt{3}}$$ 2
450 $$frac{1}{sqrt{2}}$$ $$frac{1}{sqrt{2}}$$ 1 1 $$sqrt{2}$$ $$sqrt{2}$$
600 $$frac{sqrt{3}}{2}$$ $$frac{1}{2}$$ $$sqrt{3}$$ $$frac{1}{sqrt{3}}$$ 2 $$frac{2}{sqrt{3}}$$
900 1 0 $$infty $$ 0 $$infty $$ 1
1200 $$frac{sqrt{3}}{2}$$ $$-frac{1}{2}$$ $$-sqrt{3}$$ $$-frac{1}{sqrt{3}}$$ -2 $$frac{2}{sqrt{3}}$$
1350 $$frac{1}{sqrt{2}}$$ $$-frac{1}{sqrt{2}}$$ -1 -1 $$-sqrt{2}$$ $$sqrt{2}$$
1500 $$frac{1}{2}$$ $$-frac{sqrt{3}}{2}$$ $$-frac{1}{sqrt{3}}$$ $$-sqrt{3}$$ $$-frac{2}{sqrt{3}}$$ 2
1800 0 -1 0 $$-infty $$ -1 $$infty $$
2700 -1 0 $$-infty $$ -1 0 $$infty $$
3600 0 1 0 $$infty $$ 1 $$infty $$
त्रिकोणमिति सारणी

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