कलन (Calculus) गणित का एक प्रमुख क्षेत्र है जिसमें राशियों के परिवर्तन का गणितीय अध्ययन किया जाता है। इसकी दो मुख्य शाखाएँ हैं- अवकल गणित तथा समाकलन गणित।
अवकल गणित में किसी राशि के परिवर्तन की दर का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी कार की गति 10 मीटर प्रति सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो हम कह सकते हैं कि कार की गति का अवकल 10 है।
समाकलित गणित में किसी राशि के परिवर्तन का कुल प्रभाव का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी कार की गति 10 मीटर प्रति सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो 10 सेकंड में कार द्वारा तय की गई दूरी का समाकल 100 मीटर होगा।
कलन की कुछ प्रमुख अवधारणाएँ
- अवकलन: किसी राशि के परिवर्तन की दर को व्यक्त करने वाला बीजगणितीय फलन।
- समाकलन: किसी राशि के परिवर्तन का कुल प्रभाव को व्यक्त करने वाला बीजगणितीय फलन।
- कलन के मूलभूत प्रमेय: अवकलन और समाकलन के बीच संबंध स्थापित करने वाला प्रमेय।
- डेरिवेटिव: किसी फलन के अवकलज को व्यक्त करने वाला प्रतीक।
- इन्टीग्रल: किसी फलन के समाकल को व्यक्त करने वाला प्रतीक।
कलन के कुछ अनुप्रयोग
- भौतिकी: गति, बल, ऊर्जा, आदि का अध्ययन।
- रसायन विज्ञान: रासायनिक प्रतिक्रियाओं का अध्ययन।
- जीव विज्ञान: जैविक प्रणालियों का अध्ययन।
- इंजीनियरिंग: मशीन डिजाइन, निर्माण, आदि।
- अर्थशास्त्र: आर्थिक मॉडलिंग, वित्तीय विश्लेषण, आदि।
- सांख्यिकी: डेटा विश्लेषण, सांख्यिकीय मॉडलिंग, आदि।
- चिकित्सा: चिकित्सा समस्याओं का विश्लेषण, उपचार योजनाओं का विकास, आदि।
कलन की उपयोगिता
कलन का उपयोग करके हम निम्नलिखित समस्याओं को हल कर सकते हैं:
- किसी राशि के परिवर्तन की दर की गणना करना।
- किसी राशि के परिवर्तन का कुल प्रभाव की गणना करना।
- भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, आदि में वैज्ञानिक समस्याओं को हल करना।
- इंजीनियरिंग में इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करना।
- अर्थशास्त्र में आर्थिक समस्याओं को हल करना।
- सांख्यिकी में सांख्यिकीय समस्याओं को हल करना।
- चिकित्सा में चिकित्सा समस्याओं को हल करना।
अवकलन सूत्र (Fomulae of Differentiation)
अवकल गणित के कुछ प्रमुख सूत्र निम्नलिखित हैं:
- $$\frac{d}{dx}(c)=0$$
- $$\frac{d}{dx}(cx)=c$$
- $$\frac{d}{dt}(u(t))=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$$
- $$\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$$
- $$\frac{d}{dx}(uv)=u\cdot\frac{dv}{dx}+v\cdot\frac{du}{dx}$$
- $$\frac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$$
- $$\frac{d}{dx}(u^n)=n\cdot u^{n-1}\cdot\frac{du}{dx}$$
- $$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$
- $$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$
- $$\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$$
- $$\frac{d}{dx}(\cot x)=-\sec^2 x$$
- $$\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$$
- $$\frac{d}{dx}(\sec x)=-\sec x\cot x$$
- $$\frac{d}{dx}(\log_e x)=\frac{1}{x}$$
- $$\frac{d}{dx}(\log_e u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}$$
- $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$
- $$\frac{d}{dx}(e^{ax})=ae^x$$
- $$\frac{d}{dx}(\sin ax)=a\cos ax$$
- $$\frac{d}{dx}(\sin(ax+b))=a\cos(ax+b)$$
- $$\frac{d}{dx}(\cos ax)=-a\sin ax$$
- $$\frac{d}{dx}(\cos(ax+b))=-a\sin(ax+b)$$
समाकलन सूत्र (Fomulae of Integration)
समाकलित गणित के कुछ प्रमुख सूत्र निम्नलिखित हैं:
- $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
- $$\int dx=x$$
- $$\int c\cdot x^n\,dx=c\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
- $$\int \frac{1}{x}\,dx=\log_e x$$
- $$\int \sin x\,dx=-\cos x$$
- $$\int \cos x\,dx=\sin x$$
- $$\int e^x\,dx=e^x$$
- $$\int (u+v)\,dx=\int u\,dx+\int v\,dx$$
- $$\int \sec^2 x\,dx=\tan x$$
- $$\int \sec^2 x\,dx=-\cot x$$
- $$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x$$
- $$\int \sec x\cot x\,dx=-\sec x$$
- $$\int e^{ax}\,dx=\frac{e^{ax}}{a}$$
- $$\int \sin ax\,dx=-\frac{\cos ax}{a}$$
- $$\int \cos ax\,dx=\frac{\sin ax}{a}$$